Question

已知圓x²+y²+x-6y=0和直線(xiàn)2x+3y-m=0交于不同的P，Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則m=

3

．

Answer 1

分析：由已知中，圓x²+y²+x-6y=0和直線(xiàn)2x+3y-m=0交于不同的P，Q兩點(diǎn)，使用“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法，結(jié)合OP⊥OQ，我們可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可求出滿(mǎn)足條件的m的值．

解答：解：聯(lián)立直線(xiàn)與圓方程得到：
（2y-3）²-（2y-3）+y²-6y+m=0
整理得：5y²-20y+（m+12）=0
則：y₁+y₂=4，y₁•y₂=

m+12

5

∴x₁•x₂=（-2y₁+3）•（-2y₂+3）=4y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=4•

m+12

5

-15
已知OP⊥OQ
則，Kop*Koq=-1
即：y₁•y₂+x₁•x₂=0
∴

m+12

5

+4•

m+12

5

-15=0
即m+12-15=0
∴m=3
故答案為：3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，其中“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法，是解答直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)（包括圓）位置關(guān)系中，最常用的方法，一定要熟練掌握．