Question

15．某市A、B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了2名男生、1名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)．
（Ⅰ）集訓(xùn)后所有學(xué)生站成一排合影留念，其中女生不站在兩端，有多少種不同的站法；
（Ⅱ）現(xiàn)從這8名學(xué)生中隨機(jī)選擇4人去參加比賽，求：
①選定的4人中至少有1名女生的概率；
②選定的4人中恰有2名男生且這2名男生來自同一所中學(xué)的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩端不站女生，得到兩端的位置共有$A_5^2$種排法，余下的6個(gè)位置共有$A_6^6$種不同的排法，由此利用分步計(jì)數(shù)原理，能求出女生不站在兩端的不同的站法總數(shù)．
（Ⅱ）①記“選定的4人中至少有1名女生“為事件A，利用對立事件概率計(jì)算公式能求出選定的4人中至少有1名女生的概率．
②記“選定的4人中恰有2名男生且這2名男生來自同一所中學(xué)“為事件B，利用互斥事件概率加法公式能求出選定的4人中恰有2名男生且這2名男生來自同一所中學(xué)的概率．

解答 解：（Ⅰ）∵兩端不站女生，∴兩端的位置共有$A_5^2$種排法，
余下的6個(gè)位置共有$A_6^6$種不同的排法，
再根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有$A_5^2A_6^6=14400$種不同的排法． …（4分）
（Ⅱ）①記“選定的4人中至少有1名女生“為事件A，
則$P（A）=1-\frac{C_5^4}{C_8^4}=\frac{13}{14}$，
∴選定的4人中至少有1名女生的概率為$\frac{13}{14}$．…（8分）
②記“選定的4人中恰有2名男生且這2名男生來自同一所中學(xué)“為事件B，
則$P（B）=\frac{C_2^2C_3^2+C_3^2C_3^2}{C_8^4}=\frac{12}{70}=\frac{6}{35}$，
∴選定的4人中恰有2名男生且這2名男生來自同一所中學(xué)的概率為$\frac{6}{35}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件概率計(jì)算公式和互斥事件概率加法公式的合理運(yùn)用．