已知橢圓C的方程為
y2
4
+
x2
2
=1，直線 l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(-1，
1
2
)為弦AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．
分析：設(shè)直線l的斜率為k．設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．代入橢圓方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1，
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1．利用“點(diǎn)差法”即可得出．
解答：解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)不符合題意．設(shè)直線l的斜率為k．
設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．代入橢圓方程得
y
2
1
4
+
x
2
1
2
=1，
y
2
2
4
+
x
2
2
2
=1．
兩式相減得
(y1+y2)(y1-y2)
4
+
(x1+x2)(x1-x2)
2
=0．
∵點(diǎn)P(-1，
1
2
)為弦AB的中點(diǎn)，∴-1=
x1+x2
2
，
1
2
=
y1+y2
2
．
又
y1-y2
x1-x2
=k，∴
k
4
+
-2
2
=0，解得k=4．
∴直線l的方程為y-
1
2
=4(x+1)，化為8x-2y+9=0．
點(diǎn)評：本題考查了直線與橢圓相交的“中點(diǎn)弦”問題、“點(diǎn)差法”等基礎(chǔ)知識與基本方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)A、B分別為其左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為其左、右焦點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，AF1為半徑作圓A；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑作圓B；若直線l： y=-
3
3
x被圓A和圓B截得的弦長之比為
15
6
；
（1）求橢圓C的離心率；
（2）己知a=7，問是否存在點(diǎn)P，使得過P點(diǎn)有無數(shù)條直線被圓A和圓B截得的弦長之比為
3
4
；若存在，請求出所有的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），將圓心在原點(diǎn)O、半徑是
a2+b2
的圓稱為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與X軸正半軸的交點(diǎn)，B，D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且BD⊥x軸，求
AB
•
AD
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•河北區(qū)一模）已知橢圓C的方程為 
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0），過其左焦點(diǎn)F1（-1，0）斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若
OP
+
OQ
與
a
=（-3，1）共線，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線l：x+y-
1
2
=0，在l上求一點(diǎn)M，使以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且過M點(diǎn)的雙曲線E的實(shí)軸最長，求點(diǎn)M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•衡陽模擬）已知橢圓C的方程為
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0），離心率e=
2
2
，上焦點(diǎn)到直線y=
a2
c
的距離為
2
2
，直線l與y軸交于一點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A，B且
AP
=t
PB
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若
OA
+t
OB
=4
OP
，求m的取值范圍•

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的方程為
x 2
4
+
y2
3
=1，過C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn)，向量
m
=(-1，-4)，若向量
OA
-
OB
與
m
-
OF
共線，則直線AB的方程是（　　）

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同步練習(xí)冊答案