Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=8時，若對于?x₁∈[1，4]，?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過a≤0，a＞0分別判斷導(dǎo)數(shù)的符號，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對于?x₁∈[1，4]，總?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_min根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當a=8時，f（x）_min=f（2）
設(shè)e^x+e^-x=t，設(shè)ϕ（t）=g（x），判斷是單調(diào)遞增函數(shù)，g（x）_min=ϕ（t）_min，求出實數(shù)k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），．（1分）
當a≤0時，顯然f′（x）＞0，此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．（3分）
當a＞0時，f′（x）=0得解為（舍去），．
所以f（x）的單調(diào)減區(qū)間為 ，
單調(diào)增區(qū)間為．（5分）
（Ⅱ）對于?x₁∈[1，4]，總?x₂∈R，使得f（x₁）≥g（x₂）成立?f（x）_min≥g（x）_min．（7分）
根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當a=8時，f′（x）=0，得x=2．

x	1	（1，2）	2	（2，4）	4
f′（x）		-		+
f（x）	9	單調(diào)遞減	f（x）極小值=6+2ln2	單調(diào)遞增	6+2ln4

在x∈[1，4]上f（x）_min=f（2）=6+2ln2．（9分）
設(shè)e^x+e^-x=t，則e^2x+e^-2x=t²-2，
設(shè)ϕ（t）=g（x）=t²+t+k-2（t≥2），是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以g（x）_min=ϕ（t）_min=g（2）=4+k．（11分）
故4+k≤6+2ln2，得k≤2+2ln2．（12分）
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力．