Question

（本小題滿分12分）
已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且 2a₁ +3a₂ =1， =9a₂a₆．
(Ⅰ) 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè) b_n=log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n，求的前n項和T_n；
（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，求使  ≥ (7? 2n)T_n恒成立的實數(shù)k 的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）前n 項和為?．（Ⅲ）

試題分析：(1)根據(jù)2a₁ +3a₂ =1， =9a₂a₆．可建立關(guān)于a₁和q的方程求出a₁和q的值，從而得到{a_n}的通項公式.
(2)再（1）的基礎(chǔ)上根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得，因而可得 =?2,顯然采用疊加求和的方法求和.
（3）可令,采用作差法求的最大值，從而求出k的范圍.
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為(q>0)，
由 得，．
故數(shù)列的通項公式為．
（Ⅱ ）b_n =log₃a₁ +log₃a₂ +…+ log₃a_n =?
故 =?2
T_n = + + +…+
= ?2 =?  
所以數(shù)列 的前n 項和為?．
（Ⅲ ）化簡得對任意恒成立
設(shè)，則
當(dāng)為單調(diào)遞減數(shù)列，
為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以，n=5時，取得最大值為．
所以, 要使對任意恒成立，
點評：掌握等差等比數(shù)列的通項及性質(zhì)以及常用數(shù)列求和的方法是求解此類問題的關(guān)鍵.