Question

已知焦點在x軸上的橢圓C過點（0，1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點．
（�。┤糁本�l垂直于x軸，求∠AQB的大��；
（ⅱ）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由題意，橢圓C過點（0，1），離心率為，可知：b=1，=．…（2分）
所以a²=4．
所以，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（�。┊�(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=-．
由，解得
即A（-，），B（-，-）（不妨設(shè)點A在x軸上方）．…（5分）
則直線AQ的斜率1，直線BQ的斜率-1．
因為直線AQ的斜率與直線BQ的斜率為-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=．…（6分）
（ⅱ）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x+）（k≠0）．
由消去y得：（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
因為點A（-，0）在橢圓C的內(nèi)部，顯然△＞0．
…（8分）
因為 =（x₁+2，y₁），=（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+），y₂=k（x₂+），
所以•=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+）（x₁+x₂）+4+
=（1+k²）×+（2+）（）+4+=0
所以 ．
所以△QAB為直角三角形．…（11分）
假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則|QA|=|QB|．
取AB的中點M，連接QM，則QM⊥AB．
記點（-，0）為N．
另一方面，點M的橫坐標(biāo)，
所以點M的縱坐標(biāo)．
所以=（）•（）=≠0
所以 與不垂直，矛盾．
所以當(dāng)直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形．…（13分）
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），根據(jù)a²=b²+c²，橢圓C過點（0，1），離心率為，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）當(dāng)直線l垂直于x軸時，直線l的方程為x=-，與橢圓方程聯(lián)立，求得A，B的坐標(biāo)，可得直線AQ的斜率、直線BQ的斜率-1，即可求得∠AQB的大��；
（ⅱ）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積，可得△QAB為直角三角形，假設(shè)存在直線l使得△QAB為等腰三角形，計算，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理進(jìn)行求解．