Question

（2006•靜安區(qū)二模）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F(

1

2

，0)，且與定直線l：x=-

1

2

相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)M的軌跡上，且滿足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）設(shè)一直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于R、S兩點(diǎn)，若

OR

•

OS

=-1且2

2

≤|RS|＜4

14

，試求該直線l的傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意設(shè)出M的坐標(biāo)，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑列式得到M的軌跡；
（2）由OP⊥OQ，分別設(shè)直線OP的方程為：y=kx，直線OQ的方程為：y=-

1

k

x，和拋物線方程聯(lián)立解得P和Q的坐標(biāo)，由OP=OQ求出k的值，則點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)可求，然后直接代入三角形面積公式求解；
（3）設(shè)出R和S的坐標(biāo)，由

OR

•

OS

=-1得到兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積，求出|RS|的長(zhǎng)度（用含有兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示），求解不等式2

2

≤|RS|＜4

14

即可得到k的范圍，從而得到直線的傾斜角的范圍．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為M（x，y），因?yàn)閯?dòng)圓過(guò)定點(diǎn)F(

1

2

，0)，且與定直線l：x=-

1

2

相切，
所以M到直線l：x=-

1

2

的距離等于M到F的距離，
于是有(x+

1

2

)2=(x-

1

2

)2+y2
化簡(jiǎn)得y²=2x，即動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y²=2x；
（2）因?yàn)镺P⊥OQ，設(shè)直線OP的方程為：y=kx，
則直線OQ的方程為：y=-

1

k

x，
解得點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(

2

k2

，

2

k

)，(2k2，2k3)，
由OP=OQ，得

4

k2

+

4

k4

=4k4+4k6，k⁸=1，可得點(diǎn)P、Q坐標(biāo)分別為（2，2），（2，-2）
所以，S△POQ=

1

2

|OP|2=4；
（3）設(shè)R(

y12

2

，y1)，S(

y22

2

，y2)，由

OR

•

OS

=-1解得y₁y₂=-2，|RS|=

(y12-y22)2 4 +(y1-y2)2

=

(y1+y2)2(y1-y2)2+4(y1-y2)2

2

�。┲本�與x軸垂直時(shí)，R(1，

2

)，S(1，-

2

)，符合
ⅱ）設(shè)RS斜率為k，傾斜角為θ，y1+y2=

2

k

，|RS|=2

1 k4 + 3 k2 +2

，
由2

2

≤|RS|＜4

14

，得2≤

1

k4

+

3

k2

+2≤56，
解得k≥

6

6

或k≤-

6

6

．
所以，直線傾斜角θ的取值范圍是π-arctan

6

6

≥θ≥arctan

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生的計(jì)算能力屬于壓軸題．