Question

10．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$），（ω＞0，0＜φ＜π），其中x∈R且圖象相鄰兩對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$；
（1）求f（x）的對稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求f（x）的最大值、最小值，并指出f（x）取得最大值、最小值時所對應(yīng)的x的集合．

Answer 1

分析 （1）由條件利用余弦函數(shù)的圖象特征，求得ω的值，可得函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的最值，求得f（x）取得最大值、最小值時所對應(yīng)的x的集合．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=cos（ωx+$\frac{π}{3}$）的圖象的兩對稱軸之間的距離為 $\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=2，f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，可得對稱軸方程為 x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
令2kπ-π≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，求得 kπ-$\frac{2π}{3}$≤x≤kπ-$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{2π}{3}$，kπ-$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ，即x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z時，f（x）取得最大值為1．
當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+π，即x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z時，f（x）取得最小值為-1．
∴f（x）取最大值時相應(yīng)的x集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z}；
f（x）取最小值時相應(yīng)的x集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的圖象特征，余弦函數(shù)的單調(diào)性以及最值，屬于中檔題．