Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的準(zhǔn)線為，其焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B是拋物線C上橫坐標(biāo)為的一點(diǎn)，若點(diǎn)B到的距離等于．

(1)求拋物線C的方程，

(2)設(shè)A是拋物線C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線AO交直線于點(diǎn)M，拋物線C在點(diǎn)A處的切線m交直線于點(diǎn)N，求證：以點(diǎn)N為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過(guò)軸上的兩個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)，

【解析】

(1) 由題意，得，則△BOF為等腰三角形，求出線段OF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到拋物線C的方程；

(2) 設(shè)切線m的方程為：，聯(lián)立方程，借助韋達(dá)定理可得，再求出，表示以為半徑的圓的方程即可得到兩個(gè)定點(diǎn).

(1)由題意，得，則△BOF為等腰三角形，

因?yàn)辄c(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，所以線段OF的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

從而點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為1，即，所以p=2，

故所求拋物線C的方程為；

(2)證明：設(shè)切線m的方程為：，由

（*）

由題意知，即

所以方程（*）的根為 ，從而，

直線OA的方程為

由，得，由，得，

所以以點(diǎn)N為圓心，以為半徑的圓的方程為，

令，得，解得，

所以圓N經(jīng)過(guò)x軸上的兩個(gè)定點(diǎn)和.