【題目】已知橢圓:上任意一點到兩個焦點的距離和為4，且離心率為．

（1）求橢圓的方程．

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與橢圓交于，和，，設中點為，中點為，試探究直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由．

【答案】（1）； （2）過定點，.

【解析】

（1）和直接計算即可.(2) 若直線斜率存在且不為0．設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，用中點坐標公式表示出，同理，求出直線的方程為過定點；

當直線斜率不存在或為0時，直線即為軸，也過點．

解：（1）由題意知，所以．

又，知．

所以，所以．

故橢圓的方程為．

（2）若直線斜率存在且不為0．設直線的方程為，

與橢圓方程聯(lián)立得，

顯然，設，坐標分別為，，中點坐標為，

則，，

即．

同理可得，，

．

直線的方程為，

整理得．

當直線斜率不存在或為0時，直線即為軸，也過點．

綜上，直線過定點．

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系中，拋物線的準線為，其焦點為F，點B是拋物線C上橫坐標為的一點，若點B到的距離等于．

(1)求拋物線C的方程，

(2)設A是拋物線C上異于頂點的一點，直線AO交直線于點M，拋物線C在點A處的切線m交直線于點N，求證：以點N為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過軸上的兩個定點．

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【題目】如圖，將邊長為2的正方形沿對角線折疊，使得平面平面，又平面.

（1）若，求直線與直線所成的角；

（2）若二面角的大小為，求的長度．

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【題目】已知長為3的線段的兩端點，分別在軸和軸上移動，.

（1）求點的軌跡的方程.

（2）過作互相垂直的兩條直線分別與軌跡交于，和，，設中點為，中點為，試探究直線是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由.

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【題目】華為手機作為華為公司三大核心業(yè)務之一，2018年的銷售量躍居全球第二名．某機構隨機選取了100名華為手機的顧客進行調查，并將這100人的手機價格按照，，…，分成7組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）若是的2倍，求，的值；

（2）求這100名顧客手機價格的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表，精確到個位）；

（3）利用分層抽樣的方式從手機價格在和的顧客中選取6人，并從這6人中隨機抽取2人進行回訪，求抽取的2人手機價格在不同區(qū)間的概率．

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【題目】已知函數(shù),其中

（1）當時,求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在最小值,求證:.

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【題目】某校高一、高二年級的全體學生都參加了體質健康測試，測試成績滿分為100分，規(guī)定測試成績在之間為“體質優(yōu)秀”，在之間為“體質良好”，在之間為“體質合格”，在之間為“體質不合格”.現(xiàn)從這兩個年級中各隨機抽取7名學生，測試成績如下：

其中m，n是正整數(shù).

（Ⅰ）若該校高一年級有280學生，試估計高一年級“體質優(yōu)秀”的學生人數(shù)；

（Ⅱ）若從高一年級抽取的7名學生中隨機抽取2人，記X為抽取的2人中為“體質良好”的學生人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

（Ⅲ）設兩個年級被抽取學生的測試成績的平均數(shù)相等，當高二年級被抽取學生的測試成績的方差最小時，寫出m，n的值.（只需寫出結論）

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【題目】已知橢圓的離心率為，直線，圓的方程為，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等，橢圓的左頂點為，上頂點為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經(jīng)過點且斜率為直線與橢圓有兩個不同的交點和，請問是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.

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