Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[-

π

2

，

π

2

]時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行展開后合并，進(jìn)而再由輔角公式化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可確定最小正周期．
（Ⅱ）先根據(jù)滿足f（x）的減區(qū)間求出x的范圍，再結(jié)合題中x的范圍確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+

3

(cos2x-sin2x)
=sin2x+

3

cos2x
=2sin(2x+

π

3

)
∴T=π
（Ⅱ）f（x）的減區(qū)間為2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

又∵x∈[-

π

2

，-

π

12

]，∴-

π

2

≤x≤-

5π

12

或

π

12

≤x≤

π

2

即f（x）在[-

π

2

，-

5π

12

]和在[

π

12

，

π

2

]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和與差的正弦定理和輔角公式 的應(yīng)用和正弦函數(shù)的單調(diào)性．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用．