Question

20．設k∈R，函數f（x）=lnx-kx．
（1）若k=2，求曲線y=f（x）在P（1，-2）處的切線方程；
（2）若方程f（x）=0無根，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）通過討論k的范圍，求出函數的單調區(qū)間，根據方程無根，得到關于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-k，x＞0$，
當k=2時，f'（1）=-1，
由點斜式寫出切線方程，
即：x+y+1=0；
（2）當k＜0時，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0，
f（x）在（0，+∞）遞增，而f（1）f（$\frac{1}{e}$）＜0，函數有零點，不合題意；
當k=0時，函數f（x）=lnx唯一零點x=1，不符合題意；
當k＞0時，令$f'（x）=\frac{1}{x}-k=0$，得$x=\frac{1}{k}$，
x，f′（x），f（x）的變化如下：

x	$（{0，\frac{1}{k}}）$	$\frac{1}{k}$	$（{\frac{1}{k}，+∞}）$
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	$ln\frac{1}{k}-1$	↘

∴$x=\frac{1}{k}$為極大值點且為最大值點．
∴$f（{\frac{1}{k}}）=ln\frac{1}{k}-1＜0$．
∴$k＞\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．