Question

11．已知等差數(shù)列{a_n}的公差不為零，a₁=11，且a₂，a₅，a₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|，求 S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè){a_n}的公差為d，由題意可得d的方程，解方程可得通項(xiàng)公式；
（II）由（I）知當(dāng)n≤6時(shí)a_n＞0，當(dāng)n≥7時(shí)a_n＜0，分類討論去絕對值可得．

解答 解：（I）設(shè){a_n}的公差為d，由題意${a_5}^2={a_2}{a_6}$，
即${（{{a_1}+4d}）^2}=（{{a_1}+d}）（{{a_1}+5d}）$，
變形可得$2{a_1}d+11{d^2}=0$，
又由a₁=11可得d=-2或d=0（舍）
∴a_n=11-2（n-1）=-2n+13；
（II）由（I）知當(dāng)n≤6時(shí)a_n＞0，當(dāng)n≥7時(shí)a_n＜0，
故當(dāng)n≤6時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d$=12n-n²；
當(dāng)n≥7時(shí)，S_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a₆|+|a₇|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a₆-（a₇+a₈+…+a_n）
=2（a₁+a₂+a₃+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a_n）=72-（12n-n²）=n²-12n+72．
綜合可得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{12n-{n}^{2}，n≤6}\\{{n}^{2}-12n+72，n≥7}\end{array}\right.$

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及分類討論的思想，屬中檔題．