Question

1．各項均為正數(shù)的遞增等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且a₂a₄，a₃a₅+18，a₄a₆成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式：；
（2）若b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$，c_n=1$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1）；從而可得2（q⁶+18）=q⁴+q⁸，從而解方程即可；
（2）化簡b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=log₃3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，c_n=1$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$，從而利用分組求和及裂項求和法求解．

解答 解：（1）設各項均為正數(shù)的遞增等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1）；
則a₂a₄=q⁴，a₃a₅=q⁶，a₄a₆=q⁸，
∵a₂a₄，a₃a₅+18，a₄a₆成等差數(shù)列，
∴2（q⁶+18）=q⁴+q⁸，
即q⁸-2q⁶+q⁴-36=0，
即（q²-3）（q⁶+q⁴+4q²+12）=0，
故q=$\sqrt{3}$，
故a_n=$\sqrt{3}$^n-1=3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$．
（2）b_n=log₃a_n+$\frac{1}{2}$=log₃3${\;}^{\frac{n-1}{2}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
c_n=1$\frac{1}{_{n}_{n+1}_{n+2}}$+（-1）ⁿb${\;}_{n}^{2}$=$\frac{8}{n（n+1）（n+2）}$+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$
=4[$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+（-1）ⁿ$\frac{{n}^{2}}{4}$，
當n為偶數(shù)時，
T_n=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+$\frac{1}{4}$（2²-1²+4²-3²+…+n²-（n-1）²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$，
當n為奇數(shù)時，
T_n=4[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{12}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$]+$\frac{1}{4}$（2²-1²+4²-3²+…+（n-1）²-（n-2）²-n²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+$\frac{1}{4}$•（$\frac{（n-1）n}{2}$-n²）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）-$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$
綜上所述，T_n=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$）+（-1）ⁿ$\frac{1}{4}$•$\frac{n（1+n）}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質的判斷與應用，同時考查了分類討論及分組求和與裂項求和的應用．