Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=na_n，且數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為（n-1）S_n+2n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求證：數(shù)列{S_n+2}是等比數(shù)列；
（3）抽去數(shù)列{a_n}中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3n-2項(xiàng)，…余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，若{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：

12

5

＜

Tn+1

Tn

≤

11

3

．

Answer 1

分析：（1）由題意得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n，再由n=1和n=2分別求出a₁和a₂．
（2）由a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1=nS_n+1+2（n+1），所以S_n+1=2S_n+2，S_n+1+2=2（S_n+2），由S₁+2=a₁+2=4≠0知，列{S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（3）由S_n+2=4•2^n-1知數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列．由此入手能證明

12

5

＜

Tn+1

Tn

≤

11

3

．

解答：解：（1）由題意得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n；（1分）
當(dāng)n=1時(shí)，則有：a₁=（1-1）S₁+2，解得：a₁=2；
當(dāng)n=2時(shí)，則有：a₁+2a₂=（2-1）S₂+4，即2+2a₂=（2+a₂）+4，解得：a₂=4；
∴a₁=2，a₂=4（2分）
（2）由a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n①得：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n+（n+1）a_n+1=nS_n+1+2（n+1）②（3分）
②-①得：（n+1）a_n+1=nS_n+1-（n-1）S_n+2，
即：（n+1）（S_n+1-S_n）=nS_n+1-（n-1）S_n+2即：S_n+1=2S_n+2；（5分）
∴S_n+1+2=2（S_n+2），由S₁+2=a₁+2=4≠0知：
數(shù)列{S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．（8分）
（3）由（2）知：S_n+2=4•2^n-1，即S_n=4•2^n-1-2=2ⁿ⁺¹-2（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ⁺¹-2）-（2ⁿ-2）=2ⁿ對(duì)n=1也成立，
即a_n=2ⁿ（n∈N^*）．（10分）
∴數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，
它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；（11分）
∴當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（2³+2⁶+…+2^3k-3）
=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k-1)

1-8

=

5

7

•8k-

12

7

，Tn+1=Tn+cn+1=

5

7

•8k-

12

7

+23k=

12

7

•8k-

12

7

，
∴ 

Tn+1

Tn

=

12•8k-12

5•8k-12

=

12

5

+

84

5(5•8k-12)

，∵ 5•8k-12≥28 & ∴ 

12

5

＜

Tn+1

Tn

≤3（14分）
∴當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（2³+2⁶+…+2^3k）
=

4(1-8k)

1-8

+

8(1-8k)

1-8

=

12

7

•8k-

12

7

，
Tn+1=Tn+cn+1=

12

7

•8k-

12

7

+23k+2=

40

7

•8k-

12

7

，
∴

Tn+1

Tn

=

40•8k-12

12•8k-12

=

10

3

+

7

3(8k-1)

，∵8k-1≥7∴

10

3

＜

Tn+1

Tn

≤

11

3

∴

12

5

＜

Tn+1

Tn

≤

11

3

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．