Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；  
（2）求a_n及S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，求得首項(xiàng)；再由n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化簡(jiǎn)整理，由等比數(shù)列的定義即可得證；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知條件可得前n項(xiàng)和．

解答 （1）證明：由S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
可得n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），
解得a₁=-$\frac{1}{2}$，
n＞1時(shí)，S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）．
則a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1）-$\frac{1}{3}$（a_n-1-1），
化為a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為-$\frac{1}{2}$，公比為-$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）可得a_n=（-$\frac{1}{2}$）•（-$\frac{1}{2}$）^n-1=（-$\frac{1}{2}$）ⁿ；
S_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1）=$\frac{1}{3}$（（-$\frac{1}{2}$）ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算和化簡(jiǎn)整理能力，屬于中檔題．