Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3-m•{3}^{x}}{{3}^{x}}$，且函數(shù)g（x）=log₂（x²+x+2）．若對任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），則實數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{2}{3}$]
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，+∞）
• D． [-$\frac{1}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f（x）_最小值≥g（x）_最大值，即f（2）＞g（0），由此求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{3-m•{3}^{x}}{{3}^{x}}$=3^x-1-m在∈[-1，2]單調(diào)遞減，
函數(shù)g（x）=log₂（x²+x+2）在[0，3]單調(diào)遞增，
對任意x₁∈[-1，2]，存在x₂∈[0，3]，使得f（x₁）≥g（x₂），
∴f（x）_最小值≥g（x）_最大值，
∴f（2）=$\frac{1}{3}$-m≥g（0）=1，即$\frac{1}{3}$-m≥1，
解得m≤-$\frac{2}{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．