【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦距為4 ,且橢圓C過點(2 ,1). (Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C與y軸負半軸的交點為B,如果直線y=kx+1(k≠0)交橢圓C于不同的兩點E、F,且B,E,F(xiàn)構(gòu)成以EF為底邊,B為頂點的等腰三角形,判斷直線EF與圓x2+y2= 的位置關(guān)系.

【答案】解:(I)由題可知c=2 ,a2﹣b2=c2 , 將點(2 ,1)代入橢圓方程可得 + =1,解得a=4,b=2,
則橢圓C方程是 + =1;
(II)設(shè)交點為E(x1 , y1),F(xiàn)(x2 , y2),EF的中點M的坐標(biāo)為(xM , yM),
,得(1+4k2)x2+8kx﹣12=0,
由題可知△=64k2﹣4(1+4k2)(﹣12)>0恒成立,
x1+x2=﹣ ,x1x2=﹣
可得xM= =﹣ ,yM= =1+ =
因為△BEF是以EF為底邊,B為頂點的等腰角形,所以EF⊥BM.
因此BM的斜率kBM=﹣ ,又點B的坐標(biāo)為(0,﹣2),
所以kBM= =﹣ ,即﹣ =﹣
解得k=± ,故EF的直線方程為± x﹣4y+4=0,
又因為圓x2+y2= 的圓心(0,0)到直線EF的距離d= = ,
所以直線EF與圓x2+y2= 相離
【解析】(I)由題可知c=2 ,又a2﹣b2=c2 , 將點(2 ,1)代入橢圓方程,解方程可得a,b,進而得到橢圓方程;(II)設(shè)交點為E(x1 , y1),F(xiàn)(x2 , y2),EF的中點M的坐標(biāo)為(xM , yM),聯(lián)立直線方程和橢圓方程,運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式,可得M的坐標(biāo),由兩直線垂直的條件:斜率之積為﹣1,可得直線EF的方程,再求圓心到直線的距離,與班級比較,即可得到所求位置關(guān)系.

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①方程k 與方程y-2=k(x+1)可表示同一直線;
②直線l過點P(x1 , y1),傾斜角為 ,則其方程為xx1;
③直線l過點P(x1 , y1),斜率為0,則其方程為yy1;
④所有直線都有點斜式和斜截式方程.
其中正確的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4

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A.
B.8
C.
D.10

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(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.

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A.66
B.153
C.295
D.361

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(1)若a=1,且“p且q”為真,求實數(shù)x的取值范圍
(2)若¬p是¬q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.

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