Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-2x²-4ax，若x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)
（1）求a的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f′（2）=0可求出a的值；
（2）根據(jù)（1）中解析式然后求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)等于0求出x的值，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，進(jìn)而確定函數(shù)的大致圖象，最后找出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-4x-4a，
由于x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，則f′（2）=12a-8-4a=0，解得a=1，
則a的值為1；
（2）由（1）知，f（x）=x³-2x²-4x；
可得f′（x）=3x²-4x-4=（3x+2）（x-2）
令f′（x）=0，得x=-

2

3

或x=2，
得到當(dāng)x＜-

2

3

或x＞2時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)-

2

3

＜x＜2時(shí)，f（x）為減函數(shù)，
因此，當(dāng)x=-

2

3

時(shí)，f（x）有極大值

40

27

，
當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值-8；
若關(guān)于x的方程f（x）=a有三個(gè)不同實(shí)根，則-8＜a＜

40

27

，
故a的取值范圍為-8＜a＜

40

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，每年必考，要給予充分重視．