Question

【題目】已知函數(shù)fn（x）= x3﹣ （n+1）x2+x（n∈N*），數(shù)列{an}滿足an+1=f'n（an），a1=3．
（1）求a2 ， a3 ， a4；
（2）根據(jù)（1）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（3）求證： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，a1=3，又 ，

∴ ， ，

（2）解：猜想an=n+2，用數(shù)學(xué)歸納法證明：

當(dāng)n=1時(shí)顯然成立，

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，ak=k+2，

則當(dāng)n=k+1（k∈N*）時(shí)，

ak+1=ak2﹣（k+1）ak+1=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1，

=k+3=（k+1）+2，

∴當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，猜想成立．

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法對(duì)一切n∈N*，an=n+2均成立

（3）證明：當(dāng)k≥2時(shí)，有 ＜ ，

∴n≥2時(shí)，有 ＜1+ [（1﹣ ）+（ ﹣ ）+…（ ﹣ ）]

=1+ （1﹣ ）＜1+ = ．

又n=1時(shí)， =1＜ ．

故對(duì)一切n∈N*，有 ＜

【解析】（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)遞推公式分別求出a2 ， a3 ， a4；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，（3）利用裂項(xiàng)求和和放縮法即可證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．