Question

已知函數(shù)f（x）=

1+alnx

x

，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）條件下，若直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）記M={y|y=f（x）}，若

a

9

∈M，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的集合．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)極值的定義可得f′（1）=0，求解即可得到實(shí)數(shù)a的值；
（2）設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），根據(jù)直線y=kx與函數(shù)y=f（x）的圖象相切和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得k=f′（x₀），再根據(jù)k=k_OA，建立關(guān)于x₀的等式，然后求出x₀（要注意其大于0），即可求得實(shí)數(shù)k的值；
（3）要使M={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，即存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，即9（1+alnx₀）=ax₀，則x₀-9lnx₀=

9

a

，令g（x）=x-9lnx，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）的取值范圍，從而可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1+alnx

x

，
∴f′（x）=

a-1-alnx

x2

，
∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f′（1）=a-1=0，
∴a=1；
（2）由（1）可知，a=1，
∴f（x）=

1+lnx

x

，
∴f′（x）=-

lnx

x2

，
設(shè)切點(diǎn)A（x₀，y₀），即（x₀，

1+lnx0

x0

），
∴k=f′（x₀）=-

lnx0

x02

，
又∵k=k_OA=

y0

x0

=

1+lnx0

x02

，
∴-

lnx0

x02

=

1+lnx0

x02

，解得，lnx0=-

1

2

，
∴x₀=e-

1

2

，
∴k=-

lnx0

x02

=

e

2

，
實(shí)數(shù)k的值為

e

2

；
（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵M(jìn)={y|y=f（x）}，且

a

9

∈M，
∴存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）=

a

9

，即

1+alnx0

x0

-

a

9

=0，
即9（1+alnx₀）=ax₀，則x₀-9lnx₀=

9

a

令g（x）=x-9lnx，
∴g′（x）=1-

9

x

，令1-

9

x

=0，解得x=9，
當(dāng)x∈（0，9）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，9）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（9，+∞）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（9，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）在x=9處取極小值即為最小值9-9ln9，
∴

9

a

≥9-9ln9，則a＞0或a≤

1

1-ln9

．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，元素與集合關(guān)系的判斷．解題時要注意運(yùn)用極值點(diǎn)必定是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn)．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即該點(diǎn)處切線的斜率，解題時要注意運(yùn)用切點(diǎn)在曲線上和切點(diǎn)在切線上．屬于中檔題．