【題目】已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其中一焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為1.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別交雙曲線于，兩點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）將的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，解得，進(jìn)而得到雙曲線的方程；

（2）設(shè)，，直線的方程為，將代入中，整理得，根據(jù)可得的關(guān)系，從而將點(diǎn)到直線距離表示成關(guān)于的函數(shù)，再求最值。

（1）∵雙曲線過(guò)點(diǎn)，∴.

不妨設(shè)為右焦點(diǎn)，則到漸近線的距離，

∴，，

∴所求雙曲線的方程為.

（2）設(shè)，，直線的方程為.

將代入中，整理得.

∴①，②，

∵，∴，

∴，

∴.③

將①②代入③，得，

∴.而，∴，

從而直線的方程為.

將代入中，

判別式恒成立，

∴即為所求直線，該直線過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線距離取最大值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某幼兒園舉辦“yue”主題系列活動(dòng)——“悅”動(dòng)越健康親子運(yùn)動(dòng)打卡活動(dòng)，為了解小朋友堅(jiān)持打卡的情況，對(duì)該幼兒園所有小朋友進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

打卡天數(shù)

17

18

19

20

21

男生人數(shù)

3

5

3

7

2

女生人數(shù)

3

5

5

7

3

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求該幼兒園男生平均打卡的天數(shù)；

（2）若從打卡21天的小朋友中任選2人交流心得，求選到男生和女生各1人的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，左、右兩頂點(diǎn)分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長(zhǎng)線與線段CD相交于點(diǎn)如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個(gè)方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點(diǎn)C與雙曲線的頂點(diǎn)不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點(diǎn)M和N，試問(wèn)：以線段MN為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，試說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某工廠預(yù)購(gòu)軟件服務(wù)，有如下兩種方案：

方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對(duì)于提供的軟件服務(wù)每次10元；

方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過(guò)15次，不另外收費(fèi)，若超過(guò)15次，超過(guò)部分的軟件服務(wù)每次收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元.

（1）設(shè)日收費(fèi)為元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為，試寫(xiě)出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該工廠對(duì)過(guò)去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個(gè)方案中選擇一個(gè)，哪個(gè)方案更合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是矩形，與交于點(diǎn)，.

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖所示，圓錐的頂點(diǎn)為A，底面的圓心為O，BC是底面圓的一條直徑，點(diǎn)D，E在底面圓上，已知，.

（1）證明：；

（2）若二面角的大小為，求直線OC與平面ACE所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩焦點(diǎn)分別為，，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，并滿足，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩直線、分別交橢圓于、兩點(diǎn).

（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（3）求證直線的斜率為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.

（Ⅰ）求證：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角OEFC的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)F到直線3x-4y+3=0的距離為d1，焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2，且。

(1)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若在x軸上存在點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的直線l分別與拋物線C相交于P、Q兩點(diǎn)，且為定值，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

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