Question

已知f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

2x+1

．
（1）證明函數(shù)f（x）在（0，1）是增函數(shù)
（2）求f（x）在（-1，1）上的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性，先在區(qū)間上任取兩一定大小的值，再通過作差法比較兩值對應函數(shù)值的大小，最后判斷單調性；（2）先求函數(shù)在（-1，0）上的解析式，利用奇函數(shù)的定義和已知解析式即可，再求f（0），最后將定義域上的函數(shù)的解析式寫成分段函數(shù)

解答：解：①任取0＜x₁＜x₂＜1，
f(x1)-f(x2)=

2x1

2x1+1

-

2x2

2x2+1

=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1
∴2x1＜2x2
2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
②當x∈（-1，0）時，-x∈（-1，0）
∴f(x)=-f(-x)=-

1

2x+1

當x=0時，f（x）=0
∴f(x)=

2x 2x+1   0 - 1 2x+1

0＜x＜1   x=0 -1＜x＜0

點評：本題考查了函數(shù)單調性的定義及其證明方法，函數(shù)的奇偶性及其應用，利用對稱性求函數(shù)的解析式的方法