Question

已知f（x）為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f（x+2）=-f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），則f（2013）+f（-2014）的值為

1

．

Answer 1

分析：由f（x+2）=-f（x）求出函數的周期，由當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1）求出f（0）及f（1）的值，然后利用周期性求解f（2013）+f（-2014）的值．

解答：解：由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），
∴f（x）在x≥0時是以4為周期的周期函數．
則f（2013）+f（-2014）
=f（503×4+1）+f（2014）
=f（1）+f（2）
∵x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1．
f（0）=log₂（0+1）=0．
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
∴f（2013）+f（-2014）=1．
故答案為1．

點評：本題考查了對數的運算性質，考查了函數的奇偶性，解答的關鍵是利用已知條件求出周期，是中檔題．