Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，過頂點A（0，1）的直線L與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點M在橢圓上且滿足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，求直線L的斜率k的值．

Answer 1

分析：（1）利用離心率計算公式e=

c

a

=

3

2

，b=1，及a²=1+c²，即可解得a．
（2）設l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系，再利用已知

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，即可表示出點M的坐標，代入橢圓方程即可得出k．

解答：解：（1）由e=

c

a

=

3

2

，b=1，a²=1+c²，解得a=2，
故橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設l的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，n）．
聯(lián)立 

y=kx+1 x2 4 +y2=1

，消去y解得 （1+4k²）x²+8kx=0，
因為直線l與橢圓C相交于兩點，所以△=（8k）²＞0，
所以x₁+x₂=-

8k

1+4k2

，x₁×x₂=0，
∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

，∴

m= 1 2 (x1+ 3 x2) n= 1 2 (y1+ 3 y2)

點M在橢圓上，則m²+4n²=4，
∴

1

4

(x1+

3

x2)2+(y1+

3

y2)2=4，化簡得
x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+4k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+4=0，
∴4k•（-

8k

1+4k2

）+4=0，解得k=±

1

2

．
故直線l的斜率k=±

1

2

．

點評：本題綜合考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與橢圓的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、向量的運算法則等基礎知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．