Question

如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的北偏東α角，前進(jìn)4km后在B處測(cè)得該島北偏東β角，已知該島周圍3.5km范圍內(nèi)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行．
（1）若α=2β=60⁰，問(wèn)該船有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果有，那么該船自B處向東航行多少距離會(huì)有觸礁危險(xiǎn)？
（2）當(dāng)α與β滿足什么條件時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)？

Answer 1

分析：（1）作MC⊥AB，垂足為C，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，求得MC=2

3

＜3.5，所以該船有觸礁的危險(xiǎn)，設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，則MD=3.5，求出CD=0.5，可得BD=1.5，即該船自B向東航行1.5km會(huì)有觸礁危險(xiǎn)
（2）設(shè)CM=x，在△MAB中，由正弦定理求得BM的值，據(jù)x=BM•sin∠MBC 求得 x=

4cosαcosβ

sin(α-β)

，故當(dāng)當(dāng)x＞3.5，即

4cosαcosβ

sin(α-β)

＞

7

2

時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

解答：解：（1）作MC⊥AB，垂足為C，由已知α=60°，β=30°，所以∠ABM=120°，∠AMB=30°所以BM=AB=4，∠MBC=60°，
所以MC=BM•sin600=2

3

＜3.5，所以該船有觸礁的危險(xiǎn)．
設(shè)該船自B向東航行至點(diǎn)D有觸礁危險(xiǎn)，則MD=3.5，在△MBC中，BM=4，BC=2，MC=2

3

，CD=

3.52-(2 3 )2

=0.5，所以，BD=1.5（km），所以，該船自B向東航行1.5km會(huì)有觸礁危險(xiǎn)．
（2）設(shè)CM=x，在△MAB中，由正弦定理得，

AB

sin∠AMB

=

BM

sin∠MAB

，
即

4

sin(α-β)

=

BM

cosα

，BM=

4cosα

sin(α-β)

，而x=BM•sin∠MBC=BM•cosβ=

4cosαcosβ

sin(α-β)

，
所以，當(dāng)x＞3.5，即

4cosαcosβ

sin(α-β)

＞

7

2

，即

cosαcosβ

sin(α-β)

＞

7

8

時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形中的邊角關(guān)系，正弦定理的應(yīng)用，確定MC的長(zhǎng)度，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．