Question

11．在直角坐標(biāo)系中xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)M（1，0）且傾斜角為α．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ-4cosθ=0，直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)A，B．
（1）求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)M作于直線l垂直的直線l′與曲線C交于點(diǎn)M，N，求四邊形AMBN的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出直線l的參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）把參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義和根與系數(shù)的關(guān)系得出|AB|，同理得出|MN|，代入面積公式得出面積根與α的函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最小值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
∵ρsin²θ-4cosθ=0，∴ρ²sin²θ-4ρcosθ=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²-4x=0，即y²=4x．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入y²=4x得t²sin²α-4tcosα-4=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁+t₂=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁t₂=-$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∴|AB|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16co{s}^{2}α}{si{n}^{4}α}+\frac{16}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{4}{si{n}^{2}α}$．
∵直線l′⊥l，故直線l′的傾斜角為|$α±\frac{π}{2}$|，
把α換成|$α±\frac{π}{2}$|得出|MN|=$\frac{4}{co{s}^{2}α}$．
∴四邊形AMBN的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|MN|=$\frac{8}{si{n}^{2}αco{s}^{2}β}$=$\frac{32}{si{n}^{2}2α}$．
∴當(dāng)sin²2α=1即α=45°或135°時(shí)，四邊形AMBN的面積S取得最小值32．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，參數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．