Question

如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點．
（1）求異面直線EF與BC所成的角；
（2）求三棱錐C-B₁D₁F的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線EF與BC所成的角．
（2）先求出，再由向量法求出點F到平面D₁B₁C的距離，由此能求出三棱錐C-B₁D₁F的體積．
解答：解：（1）分別以DA，DC，DD₁為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，
∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點，
∴E（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），
∴=（1，1，-1），=（-2，0，0），
設異面直線EF與BC所成的角為θ，
則cosθ=|cos＜，＞|=||=，
∴異面直線EF與BC所成的角為arccos．
（2）∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點，
∴===2，
∵B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），C（0，2，0），F(xiàn)（1，1，0），
∴，=（0，2，-2），，
設平面D₁B₁C的法向量=（x，y，z），則，，
∴，解得=（1，-1，0），
∴點F到平面D₁B₁C的距離d===，
∴三棱錐C-B₁D₁F的體積V===．
點評：本題考查異面直線所成的角的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．