Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1 ， M是AB的中點，△A1MC1是等腰三角形，D為CC1的中點，E為BC上一點．
（Ⅰ）若DE∥平面A1MC1 ， 求 ；
（Ⅱ）求直線BG和平面A1MC1所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC中點N，連結MN，C1N， ∵M，N分別為AB，CB中點
∴MN∥AC∥A1C1 ，
∴A1 ， M，N，C1四點共面，
且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，
又DE∩平面BCC1B1 ，
且DE∥平面A1MC1 ， ∴DE∥C1N，
∵D為CC1的中點，∴E是CN的中點，
∴ = ．
（Ⅱ）連結B1M，
因為三棱柱ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，
∴AA1⊥AB，即四邊形ABB1A1為矩形，且AB=2AA1 ，
∵M是AB的中點，∴B1M⊥A1M，
又A1C1⊥平面ABB1A1 ，
∴A1C1⊥B1M，從而B1M⊥平面A1MC1
∴MC1是B1C1在平面A1MC1內的射影，
∴B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，
又B1C1∥BC，
∴直線BC和平面A1MC1所成的角即B1C1與平面A1MC1所成的角
設AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形
∴A1M=A1C1= ，則MC1=2，B1C1= ，
∴cos∠B1C1M= ，∴直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取BC中點N，連結MN，C1N，由已知得A1 ， M，N，C1四點共面，由已知條件推導出DE∥C1N，從而求出 ．（Ⅱ）連結B1M，由已知條件得四邊形ABB1A1為矩形，B1C1與平面A1MC1所成的角為∠B1C1M，由此能求出直線BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．