Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為（　�。�

• A．

  1-ln2

  2

• B．

  2

  2

  (1-ln2)
• C．

  1+ln2

  2

• D．

  2 (1+ln2)

  2

Answer 1

分析：轉(zhuǎn)化為函數(shù)函數(shù)y=

1

2

e^x_上點(diǎn)P（x，

1

2

e^x）到直線y=x的距離，利用導(dǎo)數(shù)求最小值．

解答：解：∵函數(shù)y=

1

2

e^x與函數(shù)y=ln（2x）互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對(duì)稱
函數(shù)y=

1

2

e^x_上點(diǎn)P（x，

1

2

e^x）到直線y=x的距離為

d=

|| 1 2 ex-x|

2

設(shè)g（x）=

1

2

e^x_-x（x＞0）則g′（x）=

1

2

e^x_-1
由g′（x）≥0可得x≥ln2，
由g′（x）＜0可得0＜x＜ln2
∴函數(shù)g（x）在（0，ln2）單調(diào)遞減，在[ln2，+∞）單調(diào)遞增
∴當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)g（x）_min=1-ln2
d=

2

2

（1-ln2）
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，注意本題解法中的轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，根據(jù)互為反函數(shù)的對(duì)稱性把所求的點(diǎn)點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離．