Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都等于2，D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥BC．
（1）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求截面ADC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的二面角D-AC₁-C的正切．
（3）求B₁到平面ADC₁的距離．

Answer 1

分析：（1）連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD，利用OD為△A₁BC中位線，可得A₁B∥OD，利用線面平行的判定，可證A₁B∥平面ADC₁；
（2）過(guò)D作AC的垂線，垂足為H，過(guò)D作AC₁的垂線，垂足為N，連接NH，則∠DNH為截面ADC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的二面角，從而可求截面ADC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的二面角Q-AC₁-C的正切值；
（3）設(shè)B₁到平面ADC₁的距離為h，利用VB1-ADC1=VA-B1DC1即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點(diǎn)．
又AD⊥BC，所以D為BC中點(diǎn)，所以O(shè)D為△A₁BC中位線，所以A₁B∥OD，
因?yàn)锳₁B?平面ADC₁，OD?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁；
（2）解：過(guò)D作AC的垂線，垂足為H，過(guò)D作AC₁的垂線，垂足為N，連接NH，則∠DNH為截面ADC₁與側(cè)面ACC₁A₁所成的二面角
∵在△ADC₁中，AD=

3

，DC₁=

5

，AC₁=2

2

，∴∠ADC₁=90°，∴DN=

AD•DC1

AC1

=

30

4

∵DH⊥AC，∴DH=

3

2

，∴NH=

3 2

4

，
∴tan∠DNH=

DH

NH

=

6

3

；
（3）解：設(shè)B₁到平面ADC₁的距離為h，則VB1-ADC1=VA-B1DC1
∵S△ADC1=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，S△B1DC1=2
∴

1

3

×

15

2

•h=

1

3

•2•

3

∴h=

4 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查面面角，掌握線面平行的判定，正確作出面面角是關(guān)鍵．