Question

10．已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，E是側棱PC上的動點．

（1）求四棱錐P-ABCD的表面積；
（2）是否在棱PC上存在一點E，使得AP∥平面BDE；若存在，指出點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1由側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1．由此能求出四棱錐P-ABCD的表面積．
（2）連接AC交BD于點O，連接OE，推導出OE∥AP，由此能證明AP∥平面BDE．

解答 解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，CB=1．
∵PB=$\sqrt{P{C^2}+C{B^2}}=\sqrt{5}$…（2分）
∵AB⊥CB，AB⊥PC
∴AB⊥平面PCB，∴AB⊥PB，
∴${S_{△PAB}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，同理${S_{△PAD}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，…（4分）
∴四棱錐P-ABCD的表面積：
S_表P-ABCD=S_{正方形ABCD}+S_△PCB+S_△PAD+S_△PCD+S_△PAB
=1+$\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$+1+1
=$\sqrt{5}+3$．…（6分）
解：（2）當E是PC的中點時，AP∥平面BDE．…（8分）
證明如下：
連接AC交BD于點O，連接OE，
則在三角形ACP中，O、E分別為AC、PC的中點，
∴OE∥AP，…（10分）
又∵OE?平面BDE，AP?平面BDE，
∴AP∥平面BDE．…（12分）

點評 本題考查四棱錐的表面積的求法，考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．