Question

11．已知函數(shù)f（x）=-x³+1+a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，e³-4]
• B． [0，$\frac{1}{{e}^{3}}$+2]
• C． [$\frac{1}{{e}^{3}}$+2，e³-4]
• D． [e³-4，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程a+1=x³-31nx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³-31nx，利用導(dǎo)數(shù)分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，進(jìn)而分析可得方程a+1=x³-31nx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解，必有1≤a+1≤e³-3，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）=-x³+1+a（$\frac{1}{e}$≤x≤e，e是自然對(duì)數(shù)的底）與g（x）=3lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，
則方程-x³+1+a=-3lnx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
-x³+1+a=-3lnx?a+1=x³-31nx，即方程a+1=x³-31nx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
設(shè)函數(shù)g（x）=x³-31nx，其導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²-$\frac{3}{x}$=$\frac{3（{x}^{3}-1）}{x}$，
又由x∈[$\frac{1}{e}$，e]，g′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
分析可得：當(dāng)$\frac{1}{e}$≤x≤1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)，
當(dāng)1≤x≤e時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）=x³-31nx有最小值g（1）=1，
又由g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{3}}$+3，g（e）=e³-3；比較可得：g（$\frac{1}{e}$）＜g（e），
故函數(shù)g（x）=x³-31nx有最大值g（e）=e³-3，
故函數(shù)g（x）=x³-31nx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的值域?yàn)閇1，e³-3]；
若方程a+1=x³-31nx在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上有解，
必有1≤a+1≤e³-3，則有0≤a≤e³-4，
即a的取值范圍是[0，e³-4]；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程a-x³=-3lnx?-a=3lnx-x³在上有解．