Question

4．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，a_n+2=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}+2，n=2k-1}\\{{3a}_{n}，n=2k}\end{array}\right.$（k∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求滿足2a_n+1=a_n+a_n+2的正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）對n分類討論，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）對n分類討論，利用（1）的通項公式及其二項式定理即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)n=2k-1時，a_2k+1-a_2k-1=2，∴數(shù)列{a_2k-1}是等差數(shù)列，公差為2，∴a_2k-1=1+2（k-1）=2k-1，即a_n=n．
n=2k時，a_2k+2=3a_2k，∴數(shù)列{a_2k}是等比數(shù)列，公比為3，∴${a}_{2k}=2×{3}^{k-1}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n=2k-1}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n=2k}\end{array}\right.$，（k∈N^*）．
（2）2a_n+1=a_n+a_n+2．
當(dāng)n=2k-1時，2a_2k=a_2k-1+a_2k+1，∴2×2×3^k-1=2k-1+2k+1，化為3^k-1=k，當(dāng)k=1時成立，n=1；當(dāng)k≥2時，3^k-1=（1+2）^k-1=$1+{∁}_{k-1}^{1}×2$+${∁}_{k-1}^{2}×{2}^{2}$+…=2k-1+${∁}_{k-1}^{2}×{2}^{2}$+…＞k．因此k≥2，3^k-1=k不成立．
當(dāng)n=2k時，2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，∴2（2k+1）=2×3^k-1+2×3^k，化為：3^k-1=$\frac{2k+1}{4}$，利用二項式定理可得3^k-1＞$\frac{2k+1}{4}$，因此無解．
綜上可得：只有n=1時，滿足2a_n+1=a_n+a_n+2．

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式、分類討論方法、二項式定理的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．