Question

【題目】已知橢圓C中心在原點，離心率 ，其右焦點是圓E：（x﹣1）2+y2=1的圓心．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過橢圓C上且位于y軸左側的一點P作圓E的兩條切線，分別交y軸于點M、N．試推斷是否存在點P，使 ？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程 =1（a＞b＞0），半焦距為c，

因為橢圓的右焦點是圓E的圓心，則c=1，

因為橢圓的離心率為 ，則 ，即a= ，

從而b2=a2﹣c2=1，

故橢圓C的方程為

（2）解：設點P（x0，y0）（x0＜0），M（0，m），N（0，n），

則直線PM的方程為y= ，即（y0﹣m）x﹣x0y+mx0=0，

因為圓心E（1，0）到直線PM的距離為1，

即 =1，

即（y0﹣m）2+ =（y0﹣m）2+2x0m（y0﹣m）+ ，即（x0﹣2）m2+2y0m﹣x0=0，

同理（x0﹣2）n2+2y0n﹣x0=0．

由此可知，m，n為方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的兩個實根，

所以m+n=﹣ ，mn=﹣ ，

|MN|=|m﹣n|= = = ．

因為點P（x0，y0）在橢圓C上，則 ，即 ，

則|MN|= = = ，

令 = ，

則（x0﹣2）2=9，

因為x0＜0，則x0=﹣1， =1﹣ = ，即 ，

故存在點P（﹣1， ）滿足題設條件

【解析】（1）由已知條件分別求出a，c的值，而b2=a2﹣c2 ， 代入求出橢圓的方程．（2）假設存在點P滿足題意，設點P（x0 ， y0）（x0＜0），M（0，m），N（0，n），利用條件求出直線PM方程，根據(jù)圓心E（1，0）到直線．的距離為1，求出m與點P坐標之間的關系，同理求出n與點P坐標之間的關系，利用韋達定理求出m+n，mn的表達式，算出|MN|，求出P點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．