某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)y＝lnx上的點(diǎn)P(x，y)與原點(diǎn)O的連線所在的直線的斜率k的值的變化規(guī)律．記直線OP的斜率k＝f(x)．

(Ⅰ)某同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，f(x)不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由：若不正確，請(qǐng)給出你的正確判斷；

(Ⅱ)某同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)a、b(a＜b)，使ab＝ba．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)說明理由：若正確，請(qǐng)求出a的取值范圍；

(Ⅲ)某同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)k＝f(x)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方，試問：他的判斷是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由：若不正確，請(qǐng)給出你的正確判斷；

答案：
解析：

　　解：(1)某同學(xué)甲的判斷不正確

　　依題意，，

　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

　　所以，在上遞增，在上遞減　4分

　　(2)同學(xué)乙的判斷正確

　　∵當(dāng)時(shí)，

　　且()，又由(1)得

　　的圖像如下圖所示

　　所以總存在正實(shí)數(shù)a、且，

　　使得即也就是ab＝ba，

　　此時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，e)　9分

　　(3)同學(xué)丙的判斷正確：問題等價(jià)于求證：當(dāng)x＞1時(shí)，成立

　　(法一)，記

　　

　　所以g(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù)，則，

　　所以，即

　　∴當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方　14分

　　(法二)即要證，即證

　　記，有，且，

　　記，有

　　當(dāng)時(shí)，，在上遞減，則

　　∴，則在上遞減，

　　即當(dāng)時(shí)，成立

　　當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)的圖像總在函數(shù)的圖像的下方　14分


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某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)y=lnx上的點(diǎn)P（x，y）與原點(diǎn)o的連線所在的直線的斜率k的值的變化規(guī)律．記直線OP的斜率k=f（x）．
（I）某同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)P從左向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，f（x）不斷增大，試問：他的判斷是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由：若不正確，請(qǐng)給出你的正確判斷；
（Ⅱ）某同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：總存在正實(shí)數(shù)a、b（a＜b），使ab=ba．試問：他的判斷是否正確？若不正確，請(qǐng)說明理由：若正確，請(qǐng)求出a的取值范圍；
（III）某同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)k=f（x）的圖象總在函數(shù)g(x)=
x-1
x
3
2
的圖象的下方，試問：他的判斷是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由：若不正確，請(qǐng)給出你的正確判斷．

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某研究性學(xué)習(xí)小組研究函數(shù)f（x）=ax3+bx（a≠0，a，b為常數(shù)）的 性質(zhì)：
（Ⅰ）甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值（精確到0.01）：
x -1 -0.72 -0.44 -0.16 0.12 0.4
y的近似值 4.00 1.15 0.02 -0.14 0.11 0.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
（i）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，寫出你的判斷并加以證明；
（ii）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰為直線AB的斜率，請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù)，若不正確，請(qǐng)說明理由．

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（Ⅰ）甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值（精確到0.01）：
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
y的近似值4.001.150.02-0.140.110.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
（i）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，寫出你的判斷并加以證明；
（ii）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰為直線AB的斜率，請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù)，若不正確，請(qǐng)說明理由．

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（Ⅰ）甲同學(xué)得到如下表所示的部分自變量x及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值y的近似值（精確到0.01）：
x-1-0.72-0.44-0.160.120.4
y的近似值4.001.150.02-0.140.110.08
請(qǐng)你根據(jù)上述表格中的數(shù)據(jù)回答下列問題：
（i）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0.4，0.44）內(nèi)是否存在零點(diǎn)，寫出你的判斷并加以證明；
（ii）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-0.3）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)A（-1，4），B（t，f（t））（-1＜t＜2），存在m∈（-1，t），使f'（m）的值恰為直線AB的斜率，請(qǐng)你判斷乙同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明并確定m的個(gè)數(shù)，若不正確，請(qǐng)說明理由．

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