Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x，函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x|-1．

Answer 1

解：（1）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x₀，y₀），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（-x₀，-y₀）在f（x）圖象上，
則-y₀=（-x₀）²+2（-x₀），即y₀=-x₀²+2x₀ ，…（4分）
∴g（x）=-x²+2x． …（7分）
（2）∵g（x）≥f（x）-|x|-1，
∴-x²+2x≥x²+2x-|x|-1，…（9分）
化簡得2|x|²-|x|-1≤0，即（2|x|+1）（|x|-1）≤0，…（11分）
∴|x|≤1，即不等式的解集為{x|-1≤x≤1}．…（14分）
分析：（1）設(shè)g（x）任一點(diǎn)P（x₀，y₀），則其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)P'（-x₀，-y₀）在f（x）圖象上，故有-y₀=（-x₀）²+2（-x₀），即y₀=-x₀²+2x₀ ，從而得到函數(shù)g（x）的解析式．
（2）不等式即-x²+2x≥x²+2x-|x|-1，化簡為（2|x|+1）（|x|-1）≤0，|x|≤1，由此得到不等式的解集．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性求函數(shù)的解析式，屬于中檔題．