Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$ （α為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（I）求曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l在該直角坐標(biāo)系下的普通方程；
（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)A在曲線(xiàn)C上，動(dòng)點(diǎn)B在直線(xiàn)l上，定點(diǎn)P（-1，1），求|PB|+|PA|的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系消參數(shù)α得到曲線(xiàn)C的普通方程，將直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程按和角公式展開(kāi)，利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得出直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程；
（II）分別求出P點(diǎn)到圓心和直線(xiàn)的距離，得出|PA|和|PB|的最小值．

解答 解：（I）曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=1，
∵ρsin（$θ+\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=2$\sqrt{2}$．
∴ρsinx+ρcosx=4，
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0．
（II）曲線(xiàn)C的半徑r=1，圓心為（2，0）．
∴曲線(xiàn)C的圓心C（2，0）到P點(diǎn)的距離d=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0-1）^{2}}=\sqrt{10}$，
∴|PA|的最小值為d-r=$\sqrt{10}$-1．
點(diǎn)P（-1，1）到直線(xiàn)l的距離d′=$\frac{|2-4|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
∴|PB|的最小值為$\sqrt{2}$．
∴|PB|+|PA|的最小值為$\sqrt{10}+\sqrt{2}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．