已知拋物線y2=4x,F(xiàn)是焦點(diǎn),直線l是經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的任意直線.
(1)若直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,且OM⊥AB(O是坐標(biāo)原點(diǎn),M是垂足),求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若C、D兩點(diǎn)在拋物線y2=4x上,且滿足
OC
OD
=-4
,求證直線CD必過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y).                  
∵拋物線y2=4x的焦點(diǎn)是F(1,0),直線l恒過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,
又OM⊥AB,
OM
FM
,即
OM
FM
=0
.                   
∴(x,y)•(x-1,y)=0,化簡(jiǎn),得x2+y2-x=0. 
又當(dāng)M與原點(diǎn)重合時(shí),直線l與x軸重合,故x≠0.
∴所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2-x=0(x≠0).
(2)設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2).       
∵C、D在拋物線y2=4x上,
∴y12=4x1,y22=4x2,即x1+x2=
y21
+
y22
4
x1x2=
y21
y22
16

OC
OD
=-4
,
x1x2+y1y2=-4,即
y21
y22
16
+y1y2=-4,解得y1y2=-8
.    
∵點(diǎn)C、D的坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2),
∴直線CD的一個(gè)法向量是
n
=(y1-y2,x2-x1)

可得直線CD的方程為:(y1-y2)(x-x1)+(x2-x1)(y-y1)=0,
化簡(jiǎn),得(y1-y2)x+(x2-x1)y+x1y2-y1x2=0,進(jìn)一步用y1、y2分別替換x1、x2,有(y1-y2)x+
y1+y2
4
(y2-y1)y-2(y1-y2)=0

又拋物線y2=4x上任兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不相等,即y1-y2≠0.
∴直線CD的方程可化為x-
y1+y2
4
y-2=0
.  
∴直線CD恒過(guò)定點(diǎn),且定點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過(guò)M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(x0,0).
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x0>3;
(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)A(4,4)作直線l:x=-1垂線,垂足為M,則∠MAF的平分線所在直線的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P(m,n)在拋物線上移動(dòng),Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)求
nm+3
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=4x與直線2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,那么|
FA
|+|
FB
|
=
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線y2=4x,其焦點(diǎn)為F,P是拋物線上一點(diǎn),定點(diǎn)A(6,3),則|PA|+|PF|的最小值是
7
7

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