橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸的兩端點(diǎn)分別為A，B，四邊形F1AF2B是邊長為4的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）過點(diǎn)P（0，3）作直線l交橢圓與M，N兩點(diǎn)，且
MP
=3
PN
，求直線l的方程．
分析：（1）由四邊形F1AF2B是邊長為4的正方形，可得b，c的值，進(jìn)而可求a值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及
MP
=3
PN
，即可求直線l的方程．
解答：解：（1）由題意，b=c=2
2
，∴a2=b2+c2=16，∴橢圓方程為
y2
16
+
x2
8
=1；
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，可得（k2+2）x2+6kx-7=0
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=
-6k
k2+2
，x1x2=
-7
k2+2

∵
MP
=3
PN
，∴x1=-3x2，
∴-2x2=
-6k
k2+2
，-3x22=
-7
k2+2

∴(
-3k
k2+2
)2=
7
3(k2+2)

∴27k2=7k2+14
∴k2=
7
10

∴k=±
70
10

∴直線l的方程為y=±
70
10
x+3．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

P為橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，A、B為圓O：x2+y2=b2上的兩個不同的點(diǎn)，直線AB分別交x軸，y軸于M、N兩點(diǎn)且
PA
•
OA
=0，
PB
•
OB
=0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若橢圓的準(zhǔn)線為y=±
25
3
，并且
a2
|
OM
|2
+
b2
|
ON
|2
=
25
16
，求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上是否存在滿足
PA
•
PB
=0的點(diǎn)P？若存在，求出存在時(shí)a，b滿足的條件；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)P是否在橢圓C上，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個端點(diǎn)分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點(diǎn)MN，且
MP
=3
PN
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

附加題：如圖，過橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）上一動點(diǎn)P引圓x2+y2=b2的兩條切線PA，PB（A，B為切點(diǎn)）．直線AB與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)．
①已知P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，y0），并且x0•y0≠0，試求直線AB的方程；    
②若橢圓的短軸長為8，并且
a2
|OM|2
+
b2
|ON|2
=
25
16
，求橢圓C的方程；
③橢圓C上是否存在P，由P向圓O所引兩條切線互相垂直？若存在，求出存在的條件；若不存在，說明理由．

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