已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），判斷點(diǎn)P是否在橢圓C上，并說(shuō)明理由．
分析：（1）由于直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線，聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，令△=0即可得到b．再利用橢圓C的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形即可得到a=
2
b，即可得到a．
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)P滿足
OP
+
OA
+
OB
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，判斷是否滿足橢圓方程即可．
解答：解：（1）聯(lián)立
x-y-b=0
x2=4y
，消去y得到x2-4x+4b=0．
∵直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)連結(jié)成等腰直角三角形，
∴a=
2
b=
2
．故所求的橢圓方程為
y2
2
+x2=1．
（2）由
y=x-1
y2
2
+x2=1
得3x2-2x-1=0，解得x1=1，x2=-
1
3
，
∴A(1，0)，B(-
1
3
，-
4
3
)，
設(shè)P（x，y），∵
OA
+
OB
+
OP
=
0
，
∴
OA
+
OB
+
OP
=(1-
1
3
+x，0-
4
3
+y)=（0，0），
解得x=-
2
3
，y=
4
3
，∴P(-
2
3
，
4
3
)，
把點(diǎn)P(-
2
3
，
4
3
)代入橢圓方程
y2
2
+x2=1，得
1
2
(
4
3
)2+(-
2
3
)2=
4
3
≠1，
∴點(diǎn)P不在橢圓C上．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與圓錐曲線相切相交問(wèn)題、向量運(yùn)算等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1、F2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，動(dòng)點(diǎn)P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過(guò)右頂點(diǎn)A 的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且B（-1，-3）．
（1）求橢圓C和直線l的方程；
（2）若圓D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與直線lAB相切，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2
2
．斜率為k（k≠0）的直線l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長(zhǎng)為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點(diǎn)MN，且
MP
=3
PN
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓C上的不同兩點(diǎn)，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問(wèn)△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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