Question

若正方形ABCD邊長為1，點P在對角線線段AC上運動，則

AP

 • (

PB

+

PD

)的取值范圍是（　　）

• A．[0，

  1

  4

  ]
• B．[0，

  1

  9

  ]
• C．[-2，

  1

  4

  ]
• D．[-2，

  1

  9

  ]

Answer 1

分析：借助正方形的兩鄰邊建立直角坐標(biāo)系，將向量的運算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)形式的運算，利用向量的坐標(biāo)形式的數(shù)量積公式表示成二次函數(shù)，通過配方找出對稱軸，求出最值．

解答：解：以AB，AC 為x，y軸建立直角坐標(biāo)系則A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
設(shè)P（x，x）（0≤x≤1）
∵

AP

=(x，x)， 

PB

=(1-x，-x)，

PD

=(-x，1-x)
∴

AP

• (

PB

+

PD

)=2x（1-2x）=-4(x-

1

4

)2+

1

4

（0≤x≤1）
所以當(dāng)x=

1

4

時，函數(shù)有最大值

1

4

；當(dāng)x=1時函數(shù)有最小值-2
故答案為[-2，

1

4

]

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)，二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．