Question

16．方程sin²x-acosx=0在x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]有且僅有一解．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤0
• B． a＜-$\frac{3}{2}$或a=0
• C． a＜-$\frac{3}{2}$
• D． a＜0

Answer 1

分析 由已知可設(shè)t=cosx，利用y=t²+at-1的圖象可知（-$\frac{1}{2}$）²+a×（-$\frac{1}{2}$）-1＞0，解得：a＜-$\frac{3}{2}$，當(dāng)a=0時(shí)，sinx=0，x=π時(shí)，方程有且僅有一解也成立，從而得解．

解答 解：∵sin²x-acosx=0，可得cos²x+acosx-1=0，
∵x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]，依題意可知：cosx∈（-$\frac{1}{2}$，0），
∴設(shè)t=cosx，可得：y=t²+at-1的圖象如圖：

∵在t=cosx∈（-$\frac{1}{2}$，0）有一個(gè)交點(diǎn)，
∴（-$\frac{1}{2}$）²+a×（-$\frac{1}{2}$）-1＞0，解得：a＜-$\frac{3}{2}$，
又∵當(dāng)a=0時(shí)，sinx=0，x=π時(shí)，也成立．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．