【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)
處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(3)對成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
,極小值為
,無極大值;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)由題意切點(diǎn)為,求導(dǎo)可得斜率,即可寫出切線方程;(2)對函數(shù)
求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況,寫出單調(diào)區(qū)間及極值;(3)對
成立,即
,構(gòu)造函數(shù)
,求導(dǎo)分別對
和
分類討論,
單調(diào)遞增舍去,
時(shí)再按
和
分兩種情況分別研究單調(diào)性和最值,比較最值和
的大小關(guān)系,求出
的范圍.
試題解析:解:(1)由題意知的定義域?yàn)?/span>
且
,
又∵,
故切線方程為.
(2),
,
當(dāng)時(shí),則
,
此時(shí)在
上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),則
,此時(shí)
,
在
上單調(diào)遞增.
故在單調(diào)遞減區(qū)間為
,單調(diào)遞增區(qū)間為
.
當(dāng)時(shí),
取極小值,且
極小值為-2,
無極大值
(3)對成立,即
,
令,
則當(dāng)時(shí),
恒成立.
因?yàn)?/span>.
①當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞增,故
,
這與恒成立矛盾
②當(dāng)時(shí),二次方程
的判別式
,令
,解得
,此時(shí)
在
上單調(diào)遞減.
故,滿足
恒成立.
由得
,方程
的兩根分別是
,其中
,
當(dāng)時(shí),
在
上單調(diào)遞增,
,
這與恒成立矛盾.
綜上可知:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn),將△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,則下列三個(gè)說法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①存在點(diǎn)E使得直線SA⊥平面SBC
②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行
③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,點(diǎn)
均在函數(shù)
的圖象上.
(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)是數(shù)列
的前
項(xiàng)和,求使
對所有
都成立的最小正整數(shù)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三數(shù)學(xué)奧林匹克競賽集訓(xùn)隊(duì)的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖(圖1)和頻率分布直方圖(圖2)都受到不同程度的破壞,可見部分如圖所示,據(jù)此解答如下問題.
(1)求該集訓(xùn)隊(duì)總人數(shù)及分?jǐn)?shù)在[80,90)之間的頻數(shù);
(2)計(jì)算頻率分布直方圖中[80,90)的矩形的高;
(3)若要從分?jǐn)?shù)在[80,100]之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生的答題情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分?jǐn)?shù)在[90,100]之間的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某地參加2015 年夏令營的名學(xué)生的身體健康情況,將學(xué)生編號為
,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為
的樣本,且抽到的最小號碼為
,已知這
名學(xué)生分住在三個(gè)營區(qū),從
到
在第一營區(qū),從
到
在第二營區(qū),從
到
在第三營區(qū),則第一、第二、第三營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方體的棱長為1,
分別是棱
,
的中點(diǎn),過直線
的平面分別與棱
、
交于
,設(shè)
,
,給出以下四個(gè)命題:
①四邊形為平行四邊形;
②若四邊形面積
,
,則
有最小值;
③若四棱錐的體積
,
,則
為常函數(shù);
④若多面體的體積
,
,則
為單調(diào)函數(shù).
其中假命題為( )
A.① ③ B.② C.③④ D.④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在銳角△ABC中,兩向量p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A),且p與q是共線向量.
(1)求A的大小;
(2)求函數(shù)y=2sin2B+cos()取最大值時(shí),角B的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)的對稱軸為
,
.
(1)求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)
的值;
(2)試確定的取值范圍,使
至少有一個(gè)實(shí)根;
(3)若,存在實(shí)數(shù)
,對任意
,使
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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