Question

若存在過(guò)點(diǎn)O（0，0）的直線l與曲線f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，則a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：已知點(diǎn)（0，0）不在曲線y=x³-3x²+2x上，容易求出過(guò)點(diǎn)（0，0）的直線與曲線y=x³-3x²+2x相切的切點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線所在的方程；再利用切線與y=x²+a相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)方程聯(lián)立，得到一元二次方程，利用判別式為0，即可解出a的值．

解答： 解：由x³-3x²+2x的導(dǎo)數(shù)y'=3x²-6x+2，
設(shè)曲線y=x³-3x²+2x上任意一點(diǎn)（x₀，x₀³-3x₀²+2x₀）處的切線方程為
y-x₀³+3x₀²-2x₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），
將（0，0）代入方程得x₀=0或x₀=

3

2

，
①當(dāng)x₀=0時(shí)，切線方程為y=2x，
則聯(lián)立y=2x和y=x²+a，得x²-2x+a=0，由△=4-4a=0，解得，a=1；
②當(dāng)x₀=

3

2

時(shí)，切線方程為y=-

1

4

x，
則聯(lián)立y=-

1

4

x和y=x²+a，得x²+

1

4

x+a=0，由△=

1

16

-4a=0，解得，a=

1

64

．
綜上可得，a=1或

1

64

．
故答案為：1或

1

64

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，本題屬于中檔題，應(yīng)學(xué)會(huì)當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，考慮判別式為0這一等式．對(duì)于本題需提醒的是，對(duì)于類似y=ax²+bx+c這種情況，應(yīng)考慮討論a是否為0這一情形．