Question

1．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，$g（x）=sin（\frac{πx}{3}）$．
（1）求證：g（x）∈A；
（2）g（x）是周期函數(shù)，據(jù)此猜想A中的元素一定是周期函數(shù)，判斷該猜想是否正確，并證明你的結(jié)論；
（3）g（x）是奇函數(shù)，據(jù)此猜想A中的元素一定是奇函數(shù)，判斷該猜想是否正確，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)g（x）+g（x+2），判斷與g（x+1）的關(guān)系即可；
（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），兩式相減即可得出f（x+3）=-f（x），從而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期為6；
（3）以f（x）=cos（$\frac{πx}{3}$）為例即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：g（x）+g（x+2）=sin（$\frac{πx}{3}$）+sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{2π}{3}$）
=sin（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{1}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）
=$\frac{1}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）=sin（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）=sin（$\frac{π（x+1）}{3}$）=g（x+1），
∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），
∴g（x）∈A．
（2）A中的函數(shù)一定是周期函數(shù)，證明如下：
∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），
∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）-f（x）=f（x+2），
∴f（x+3）=-f（x），∴f（x-3+3）=-f（x-3），即f（x）=-f（x-3），
∴f（x+3）=f（x-3），即f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數(shù)．
（3）A中的元素不一定是奇函數(shù)，
令$f（x）=cos（\frac{π}{3}x）$，則f（x）+f（x+2）=cos（$\frac{πx}{3}$）+cos（$\frac{πx}{3}$+$\frac{2π}{3}$）
=cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{1}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）
=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{πx}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{πx}{3}$）=cos（$\frac{πx}{3}$+$\frac{π}{3}$）=f（x+1）．
∴f（x）=cos（$\frac{π}{3}$x）∈A，
而f（x）=cos（$\frac{π}{3}$x）是偶函數(shù)，
故A中的元素不一定是奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換，函數(shù)周期的判斷，屬于中檔題．