已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．
（1）證明：取PB中點Q，連接MQ、NQ，
因為M、N分別是棱AD、PC中點，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
DN∥MQ
MQ⊆平面PMB
DN?平面PMB
⇒DN∥平面PMB．

（2）
PD⊥平面ABCD
MB⊆平面ABCD
⇒PD⊥MB
又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.
MB⊥平面PAD
MB⊆平面PMB
⇒平面PMB⊥平面PAD．

（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離．
過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是點D到平面PMB的距離.DH=
a
2
×a
5
2
a
=
5
5
a．
∴點A到平面PMB的距離為
5
5
a．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，P、Q分別是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心．
（1）證明：PQ∥平面DD1C1C；
（2）求線段PQ的長；
（3）求PQ與平面AA1D1D所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是一個長方體截去一個角所得的多面體的直觀圖及它的正（主）視圖和側（左）視圖（單位：cm）．
（1）畫出該多面體的俯視圖；
（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（3）在所給直觀圖中連接BC'，證明：BC'∥平面EFG．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E、F分別為PA、BC的中點．
求證：EF∥平面PCD．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知在側棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，AB=5，cos∠CAB=
3
5
，AA1=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC1
（2）求證：AC1∥平面CDB1
（3）求三棱錐A1-B1CD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，O為AC和BD的交點，過A、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-AC1Dl，且這個幾何體的體積為．
（1）求證：OD1∥平面BA1C1
（2）求棱A1A的長：
（3）求點D1到平面BA1C1的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，BB1的中點．
（1）求證：平面A1BC1∥平面ACD1；
（2）求異面直線A1F與D1E所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時異面直線AE和CH所成的角．

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