Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點(diǎn)A到平面PMB的距離．

Answer 1

（1）證明：取PB中點(diǎn)Q，連接MQ、NQ，
因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn)，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥MQ MQ⊆平面PMB DN?平面PMB

⇒DN∥平面PMB．

（2）

PD⊥平面ABCD MB⊆平面ABCD

⇒PD⊥MB
又因?yàn)榈酌鍭BCD是∠A=60°、邊長(zhǎng)為a的菱形，且M為AD中點(diǎn)，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.

MB⊥平面PAD MB⊆平面PMB

⇒平面PMB⊥平面PAD．

（3）因?yàn)镸是AD中點(diǎn)，所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴點(diǎn)A到平面PMB的距離為

5

5

a．