【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= .
(1)求函數(shù)f(x)在[0,2]上得單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m=0,k∈R時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)﹣kx2在R上零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】
(1)解: ,
當(dāng)2﹣m≤0,即m≥2時(shí),x∈[0,2],f′(x)≥0,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增;
當(dāng)0<m<2時(shí),令f′(x)<0,得0<x<2﹣m,令f′(x)>0,得2﹣m<x<2,
所以f(x)在[0,2﹣m]上單調(diào)遞減,在[2﹣m,2]上單調(diào)遞增;
當(dāng)m≤0時(shí),f′(x)≤0,f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減
(2)解:由g(x)=f(x)﹣kx2=0 ,
令 , ,由 或 ,
由 或 ,
∴h(x)在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增
在x<0時(shí),當(dāng) 時(shí),h(x)取得極小值,且 ,
當(dāng)x→﹣∞時(shí),h(x)→+∞;x→0時(shí),h(x)→+∞.
在x>0時(shí),當(dāng) 時(shí),h(x)取得極小值 ,
當(dāng)x→0時(shí),h(x)→+∞,x→+∞時(shí),h(x)→0.
綜上結(jié)合圖形得當(dāng) 沒有零點(diǎn),當(dāng) 有一個(gè)零點(diǎn),
當(dāng) 或 有二個(gè)零點(diǎn),當(dāng) 時(shí)有三個(gè)零點(diǎn)
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論m的范圍,確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào),從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)將m=0代入g(x),令g(x)=0,分離出k,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍,從而判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在三棱錐D﹣ABC中,已知AB=BC=AD= ,BD=AC=2,BC⊥AD,則三棱錐D﹣ABC外接球的表面積為( )
A.6π
B.12π
C.6 π
D.6 π
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別是海岸線上的三個(gè)集鎮(zhèn), 位于的正南方向處, 位于的北偏東60°方向處;
(1)為了緩解集鎮(zhèn)的交通壓力,擬在海岸線上分別修建碼頭,開辟水上直達(dá)航線,使, .勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)以為圓心, 為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū),不適宜船只航行,問此航線是否影響船只航行?
(2)為了發(fā)展經(jīng)濟(jì)需要,政府計(jì)劃填海造陸,建造一個(gè)商業(yè)區(qū)(如圖四邊形所示),其中, , ,求該商業(yè)區(qū)的面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中, , 且, 和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,設(shè)在底面的投影為.
(1)求證: 是的中點(diǎn);
(2)證明: ;
(3)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足,且.
求函數(shù)的解析式;
求在區(qū)間上的最大值和最小值;
當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為實(shí)數(shù).
(1)已知函數(shù)是奇函數(shù),直線是曲線的切線,且, ,求直線的方程;
(2)討論的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某海關(guān)對(duì)同時(shí)從三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行隨機(jī)抽樣檢測(cè),已知從三個(gè)地區(qū)抽取的商品件數(shù)分別是50,150,100.檢測(cè)人員再用分層抽樣的方法從海關(guān)抽樣的這些商品中隨機(jī)抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).
(1)求這6件樣品中,來自各地區(qū)商品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往另一機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件樣品來自相同地區(qū)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)的100天中,前40天價(jià)格呈直線上升,而后60天其價(jià)格呈直線下降,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)出其中4天的價(jià)格如下表:
時(shí)間 | 第4天 | 第32天 | 第60天 | 第90天 |
價(jià)格(千元) | 23 | 30 | 22 | 7 |
(1)寫出價(jià)格關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式;(表示投放市場(chǎng)的第天);
(2)銷售量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系:,則該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天銷售額最高?最高為多少千元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知所在的平面, 是的直徑, 是上一點(diǎn),且是中點(diǎn), 為中點(diǎn).
(1)求證: 面;
(2)求證: 面;
(3)求三棱錐的體積.
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