平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都交于兩點,且無三個圓交于一點,求證:這n個圓將平面分成n2+n+2個部分.
證明:(1)n=1時,1個圓將平面分成2部分,顯然命題成立.
(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時,k個圓將平面分成k2-k+2個部分.
當n=k+1時,第k+1個圓Ck+1交前面2k個點,這2k個點將圓Ck+1分成2k段,
每段各自所在區(qū)域一分為二,于是增加了2k個區(qū)域,
所以這k+1個圓將平面分成k2-k+2+2k個部分,即(k+1)2-(k+1)+2個部分.
故n=k+1時,命題成立.由(1)、(2)可知,對任意n∈N*命題成立.
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