Question

由坐標原點O向曲線y=x³-3ax²+bx（a≠0）引切線，切于O以外的點P₁（x₁，y₁），再由P₁引此曲線的切線，切于P₁以外的點P₂（x₂，y₂），如此進行下去，得到點列{P_n（x_n，y_n）}．求：
（Ⅰ）x_n與x_n-1（n≥2）的關(guān)系式；
（Ⅱ）數(shù)列{x_n}的通項公式；
（Ⅲ）當n→∞時，P_n的極限位置的坐標．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,數(shù)列的極限

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由f'（x）=3x²-6ax+b，得過點P_n（x_n，y_n）的切線為l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），由此能求出x_n=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，
（Ⅱ）由xn-a=-

1

2

(xn-1-a)，得數(shù)列{x_n-a}是首項為

a

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．由此能求出數(shù)列{x_n}的通項公式．
（Ⅲ）

lim

n→∞

x_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

2

)n]a=a，

lim

n→∞

yn=f（a）=a³-3a³+ab=ab-2a³．由此能求出P_n的極限位置的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax+b，
過點P₁（x₁，y₁）的切線為l₁：y-y₁=f'（x₁）（x-x₁）（x₁≠0），
∵l₁過原點，
∴-（x13-3ax12+bx₁）=（-x₁）（3x12-6ax₁+b），
解得x1=

2

3

a．
則過點P_n（x_n，y_n）的切線為l_n：y-y_n=f'（x_n）（x-x_n），
∵l_n過點P_n-1（x_n-1，y_n-1），
∴y_n-1-y_n=f'（x_n）（x_n-1-x_n），
整理得xn-12+xn-1xn-2xn2-3a(xn-1-xn)（x_n-1-x_n）=0．
∴(xn-1-xn)2(xn-1+2xn-3a)=0，
由x_n≠x_n-1，得x_n-1+2x_n-3a=0，
∴x_n=-

1

2

xn-1+

3

2

a，n≥2，
（Ⅱ）由（I）得，xn-a=-

1

2

(xn-1-a)，
∴數(shù)列{x_n-a}是首項為

a

2

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列．
∴xn-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴xn=[1-(-

1

2

)n]a．
（Ⅲ）n→∞時，

lim

n→∞

x_n=

lim

n→∞

[1-(-

1

2

)n]a=a，

lim

n→∞

yn=f（a）=a³-3a³+ab=ab-2a³．
∴P_n的極限位置的坐標為（a，ab-2a³）．

點評：本題考查x_n與x_n-1（n≥2）的關(guān)系式的求法，考查數(shù)列{x_n}的通項公式的求法，考查當n→∞時，P_n的極限位置的坐標的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義的合理運用．